一文了解Python中的递归

1. 递归概述

递归( recursion)是一种编程技巧,某些情况下,甚至是无可替代的技巧。递归可以大幅简化代码,看起来非常简洁,但递归设计却非常抽象,不容易掌握。通常,我们都是自上而下的思考问题, 递归则是自下而上的解决问题——这就是递归看起来不够直观的原因。那么,究竟什么是递归呢?让我们先从生活中找一个栗子。

我们都有在黑暗的放映厅里找座位的经验:问问前排的朋友坐的是第几排,加上一,就是自己当前所处位置的排号。如果前排的朋友不知道自己是第几排,他可以用同样的方法得到自己的排号,然后再告诉你。如果前排的前排的朋友也不知道自己是第几排,他就如法炮制。这样的推导,不会无限制地进行下去,因为问到第一排的时候,坐在第一排的朋友一定会直接给出答案的。这就是递归算法在生活中的应用实例。

关于递归,不太严谨的定义是“一个函数在运行时直接或间接地调用了自身”。严谨一点的话,一个递归函数必须满足下面两个条件:

(1)至少有一个明确的递归结束条件,我们称之为递归出口,也有人喜欢把该条件叫做递归基。

(2)有向递归出口方向靠近的直接或间接的自身调用(也被称作递归调用)。

递归虽然晦涩,亦有规律可循。掌握了基本的递归理论,才有可能将其应用于复杂的算法设计中。

2. 线性递归

我们先从最经典的两个递归算法开始——阶乘(factorial)和斐波那契数列(Fibonacci sequence)。几乎所有讨论递归算法的话题,都是从从它们开始的。阶乘的概念比较简单,唯一需要说明的是,0的阶乘是1而非0。为此,我专门请教了我的女儿,她是数学专业的学生。斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列是这样定义的:

F(0)=1,F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N,N为正整数集)

阶乘和斐波那契数列的递归算法如下:

def factorial(n):
if n == 0: # 递归出口
return 1
return n*factorial(n-1) # 向递归出口方向靠近的自身调用
def fibonacci(n):
if n < 2: # 递归出口
return 1
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) # 向递归出口方向靠近的自身调用

这两个函数的结构都非常简单,递归出口和自身调用清晰明了,但二者有一个显著的区别:阶乘函数中,只用一次自身调用,而斐波那契函数则有两次自身调用。

阶乘递归函数每一层的递归对自身的调用只有一次,因此每一层次上至多只有一个实例,且它们构成一个线性的次序关系。此类递归模式称作“线性递归”,这是递归最基本形式。非线性递归(比如斐波那契递归函数)在每一层上都会产生两个实例,时间复杂度为e9b2703e64583d96c5ed09900f555b7.png

,极易导致堆栈溢出。

其实,用循环的方法同样可以简洁地写出上面两个函数。的确,很多情况下,递归能够解决的问题,循环也可以做到。但是,更多的情况下,循环是无法取代递归的。因此,深入研究递归理论是非常有必要的。

3. 尾递归

接下来,我们将上面的阶乘递归函数改造一下,仍然用递归的方式实现。为了便于比较,我们把两种算法放在一起。

def factorial_A(n):
if n == 0: # 递归出口
return 1
return n*factorial_A(n-1) # 向递归出口方向靠近的自身调用
def factorial_B(n, k=1):
if n == 0: # 递归出口
return k
k *= n
n -= 1
return factorial_B(n,k) # 向递归出口方向靠近的自身调用

比较 factorial_A() 和 factorial_B() 的写法,就会发现很有意思的问题。factorial_A() 的自身调用属于表达式的一部分,这意味着自身调用不是函数的最后一步,而是拿到自身调用的结果后,需要再做一次乘法运算;factorial_B() 的自身调用则是函数的最后一步。像 factorial_B() 函数这样,当自身调用是整个函数体中最后执行的语句,且它的返回值不属于表达式的一部分时,这个递归调用就是尾递归(Tail Recursion)。尾递归函数的特点是在回归过程中不用做任何操作,这个特性很重要,因为大多数现代的编译器会利用这种特点自动生成优化的代码。

分别使用 factorial_A() 和 factorial_B() 计算5的阶乘,下图所示的计算过程,清晰展示了尾递归的优势:不用花费大量的栈空间来保存上次递归中的参数、局部变量等,这是因为上次递归操作结束后,已经将之前的数据计算出来,传递给当前的递归函数,这样上次递归中的局部变量和参数等就会被删除,释放空间,从而不会造成栈溢出。

factorial_A(5)
5 * factorial_A(4)
5 * 4 * factorial_A(3)
5 * 4 * 3 * factorial_A(2)
5 * 4 * 3 * 2 * factorial_A(1)
5 * 4 * 3 * 2 * 1 * factorial_A(0)
5 * 4 * 3 * 2 * 1
5 * 4 * 3 * 2
5 * 4 * 6
5 * 24
120
factorial_B(5, k=1)
factorial_B(4, k=5)
factorial_B(3, k=20)
factorial_B(2, k=60)
factorial_B(1, k=120)
factorial_B(0, k=120)
120

尾递归虽然有低耗高效的优势,但这一类递归一般都可转化为循环语句。

4. 单向递归

前文中两个递归函数,不管是阶乘还是斐波那契数列,递归总是向着递归出口方向进行,没有分支,没有反复,这样的递归,我们称之为单向递归。在文件递归遍历等应用场合,搜索完一个文件夹,通常要返回至父级目录,继续搜索其他兄弟文件夹,这个过程就不是单向的,而是有分叉的、带回溯的。通常复杂递归都不是单向的,算法设计起来就比较困难。

import os
def ergodic(folder):
for root, dirs, files in os.walk(folder):
for dir_name in dirs:
print(os.path.join(root, dir_name))
for file_name in files:
print(os.path.join(root, file_name))

上面是借助于 os 模块的 walk() 实现的基于循环的文件遍历方法。虽然是循环结构,如果不熟悉 walk() 的话,这个函数看起来还是很不直观。我更喜欢下面的递归遍历方法。

import os
def ergodic(folder):
for item in os.listdir(folder):
obj = os.path.join(folder, item)
print(obj)
if os.path.isdir(obj):
ergodic(obj)

5. 深度优先与广度优先

遍历文件通常有两种策略:深度优先搜索 DFS(depth-first search) 和广度优先搜索BFS(breadth-first search) 。顾名思义,深度优先就是优先处理本级文件夹中的子文件夹,递归向纵深发展;广度优先就是优先处理本级文件夹中的文件,递归向水平方向发展。

import os
def ergodic_DFS(folder):
"""基于深度优先的文件遍历"""
dirs, files = list(), list()
for item in os.listdir(folder):
if os.path.isdir(os.path.join(folder, item)):
dirs.append(item)
else:
files.append(item)
for dir_name in dirs:
ergodic(os.path.join(folder, dir_name))
for file_name  in files
print(os.path.join(folder, file_name))
def ergodic_BFS(folder):
"""基于广度优先的文件遍历"""
dirs, files = list(), list()
for item in os.listdir(folder):
if os.path.isdir(os.path.join(folder, item)):
dirs.append(item)
else:
files.append(item)
for file_name  in files
print(os.path.join(folder, file_name))
for dir_name in dirs:
ergodic(os.path.join(folder, dir_name))

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来源:PY学习网:原文地址:https://www.py.cn/article.html